如右图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1；cosθ·secθ=1；tanθ·cotθ=1。

2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...

3）阴影部分的三

六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，

三角函数

单位圆的方程是：对于圆上的任意点（x,y），x²+y²=1。

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角:逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ=y/1 和 cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度θ和任何整数k。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角 （k+ 1/2）π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = （k+ 1/2）π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 （k+ 1/2）π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 （k+ 1/2）π 的时候函数接近负无穷。

三角函数

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的弦AB，这里的 θ 是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ是另一个切线段AF。secθ=OE和 cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是 exsecθ= secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

依据单位圆定义，可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，A（1,0）是圆O与x轴正半轴的交点，过A点做过圆O的切线。

那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与过A点的切线的交点为T，则向量AT对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。

角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，如：

；

；

。

变化规律

正弦值在

随角度增大（减小）而增大（减小），在

随角度增大（减小）而减小（增大）；

余弦值在

随角度增大（减小）而增大（减小），在

随角度增大（减小）而减小（增大）；

正切值在

随角度增大（减小）而增大（减小）；

余切值在

随角度增大（减小）而减小（增大）。

注：以上其他情况可类推，参考第五项：几何性质。

除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：

乎乎的小手上，他摇晃着身子，小手在黑白键上随意移动，脚掌在地上一起一落，谁都不知道他在弹些什么。他似乎很陶醉似的紧闭双眼，微抿小嘴，哼唱着一些毫不搭调的曲子，满脸的欢喜。

他是我的表弟，一个对音乐一窍不通的小男孩，每每坐到我的琴前，都会表现出一副音乐家的姿态，在琴键上尽情挥洒他对于音乐的热爱。

曾几何时，我也像他一样，秉承着一份热情，投入一项爱好，无法自拔。我会在一张画纸上，倾泻小小的情绪，尽管画工十分浅薄；我会在动听的乐曲里，不由自主地歌唱，尽管嗓音不那么嘹亮；我会用相机，用心记录下沿途所见的风景，尽管技术并不精湛……我想，人生在世，何必在意那些细枝末节，学会在平淡如水的生活中，用双手扬起朵朵浪花，寻找生活的情趣，抓住逝去的光阴里的每一个小空隙。会玩，才好。喜欢约上三两个好友，登上高高的山顶，在天宇下放声歌唱。在山顶上歌唱，脑袋是空空的，心是明朗的。当自己的歌声从那方的山传回时，心是飘飘的，飘出了躯壳，飘到了天上，与浮云做伴，与天宇相栖。唱到漫天繁星，唱到街灯通明，唱

春暖花正开，我们都是一群开始学会浅忆的孩子，总是喜欢自由的穿梭在季节的半度微凉里，行走着，也不断寻找着，那个温暖季节里不老的青春，那个春天中哭过笑过的日子。

凉凉的风迅速钻进每个刚出教室的人的脖子里，吸走所有温暖之后扬长而去。一个个班级排着不太整齐的队形围着操场跑着，踩着还恋恋不舍离去的风，循环似地跑。在这个沙土满天飞的地方，这个用多少汗水浇灌过依然没有变样的地方，这个满天飞舞着梦想羽毛的地方。我，我们都在进行着一场不允许暂停的旅程。

卸下了厚重的围脖、手套，每个人都显得清爽多了，这也许就是春天对我最大的馈赠吧。迫不及待换上单薄衣服的我也任岁月在我单薄的青春里放肆地游走，这个季节也记载着我们“时光不老，我们不散”的誓言。在初三仅剩的七十多天里，开始享受着汗水浸透衣服的酣畅，开始提笔将一件件往事定格在同学录上，尽管这些精致的纸掩盖不住每个人内心的伤。这些都是这个季节的附带品，我像是个提前拆开了包装的人，没理由拒绝。也许，还不是最感伤的六月，但我已经开始练习释然，预演着一颗不会流泪的心。事实证明是我无能，放不下这珍贵的三年光阴，走不出这个温暖到伤悲的春天。

2019年的春天，我们说好一起走下去，就当做我三年初中生活的最终结局，就当我们关于这个季节的约定。

阳光将雾气暖开了，化作一滩水花落在地上，无声无息中视界清晰了，空气中充斥着这个季节本来的清新。远山轮廓分明，学校里新栽的玉兰花含苞待放，一切都在盼望着。复习、订正习题成了每天的生活，和每个初三学生一样，习惯性地在练习本上凌乱地写着运算步骤，将算出的答案无比认真的写在试卷上，用醒目红笔圈改着，看着练习册上那从未谋面的题目。偶尔抬头仰望几下我眼中总有云飘过的天空。这个春天，我们一直在成长，仿佛镌刻着生命中一段独一无二的时光。

每天都是打在走廊里的几米阳光，老师们总不时地向我们脑中灌输着“努力学习，再拼上两个月”的信息。在这样的日子里，看个电视剧成为了每个学生最大的奢侈。看书、复习成了我一直坐在书桌前的动力。如果说夏天是每个毕业生都抱成一团哭的季节，那么春天就是每个毕业生拼搏努力的季节。所以，阳光正明媚，路上花正开，我们正行走着。

放任心飞行，原来春天一直都在，不想把季节的更替禁锢在日历上。我想那应该是一种无休止的奔跑。蓝天白云绿草地，任由心情行走在自然的馥郁里，我向往着，这淡然的时光，这偶尔会盼望着的早春时节。我想春天就是这样一种意境吧，像天空中的云一样，自己飘出一个世界，无论生活给予的是悲伤还是快乐，这惬意的春一直都在。繁忙之中，仍有季节陪我走。

到耐不住山风的

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

料峭时，我们才舍得离去。

喜欢背上吉他，去到远方的原野，与轻风流水应和。弹自己最爱的曲子，想自己最想念的朋友：她在那边还好吗，她是否过得快乐呢？喜欢周杰伦的《枫》中的“缓缓飘落的枫叶像思念，我点燃烛光温暖岁末的秋天”，然而我的思念就像那绵绵不断的轻风，像那缓缓而过的流水。我多想用自己仅会的几首曲子，来温暖自己心灵的秋天。

喜欢到小城的美食街上，去寻找不一样的风味。油泼辣子淌在软糯白嫩的面条上“滋滋”作响，一清二白三红四绿的拉面也别具风味。当晶莹剔透的凉皮弹入双唇时，酷爽的炎夏又多了一分韵味。尝的是油盐酱醋茶，品的是生活的酸甜苦辣咸。喜欢在夕阳的余晖里，捧上一本最爱的书，缅怀又一天的逝去。感谢东坡先生教会我，要一直保持“仰天大笑出门去”的乐观旷达；感谢青莲居士教会我，要在平淡无奇的生活中追寻浪漫；感谢易安居士教会我，要在逆境中学会抗争……还喜欢《简·爱》中女主人公的人格独立，喜欢《红楼梦》中林妹妹的“腹有诗书气自华”，喜欢《追风筝的人》中哈桑的虔诚善良……

这些感人的书，这些不平凡的人物，伴我走过美好的青葱岁月。感谢，感恩。

会玩，才好。在生活中会玩，在玩中学会生活。在繁忙的生活中学会自我排解，用一颗向上的心去感知生活的美好，才能够活得舒服，活得有意义。那么，玩起来如果能够把疾病也全数消灭，那么这份苦难又将由(比如说)像貌丑陋的人去承担了。就算我们连丑陋，连愚昧和卑鄙和一切我们所不喜欢的事物和行为，也都可以统统消灭掉，所有的人都一样健康，漂亮，聪慧，高尚，结果会怎样呢?怕是人间的剧目就全要收场了，一个失去差别的世界将是一条死水，是一块没有感觉没有肥力的沙漠。

4、浩倡。《九歌·东皇太一》：“陈竽瑟兮浩倡”。“浩倡”又作“浩唱”，和上句“安歌”相对应。取名时可改为“浩昌”。下文《九歌·少司命》中还有“浩歌”。令诸校屯豫章梅领待命。

▼

01

监控

“小林，你来看下爷爷嘛，明天爷爷要走了。”

“你对爷爷是好得很啊，孙儿。”

“明天来是喊不答应咯，你来看看爷爷嘛。”

“爷爷过不了了，走了算了。”

……

小小的山村，一位孤孤单单的老大爷，对着监控镜头絮絮叨叨。

乍一听到，以为只是长辈对晚辈的思念。

仔细听完，会发现老人言语中的不对劲。

思念是真的，留恋是真的，万念俱灰也是真的。

这是一场诀别啊。

视频的发布者，老人口中喊着的孙女“小林”，也证实了爷爷已经过世。

看到监控时，她痛彻心扉：

“后来，我最爱的人，最牵挂最疼我的人变成了一座小小的山，再也看不到他等我回家了。

他出远门了，远得我要走完这一生才能见到他。”

没能见爷爷最后一面，成了孙女永久的遗憾。

说实话，而立之年的我，是含着眼泪看完的。

远离故乡，在外讨生活，这样的生离死别，我错过了一次又一次。

不过悲伤的同时，我心里也藏了一个疑惑：

明明视频里老爷子看上去还好端端的啊，他又怎么会笃定自己明天就不在了？

我不敢往最坏处想……直到这两天，一则后续报道的曝光：

当天晚上，老人自缢身亡。

02

自缢

老人姓赵，生活在云南一个偏远的山村。

这不是赵老爷子第一次轻生。

去年5月，老人曾经喝过农药，由于家人及时发现，被抢救回来。

之后，老人开始找绳子，家人就把所有绳子藏了起来。

可这一年来，老人始终没能打消自杀的念头。

为什么老人一心求死？

“他太孤独了，他太煎熬了。”孙女小林心碎道。

山区交通不便，手机信号还时断时续。

老人也没啥文化，家里人给他买了智能手机用来打发时间，可他总用不好，甚至连拨打电话的基础功能也不太明白。

自从前年，老伴过世，老人就更加郁郁寡欢。

隔壁邻居两个刚上小学的女娃不止一次听到，老人念叨着，每天做梦都会梦到老伴。

人到晚年，没有任何消遣，又失去了另一半。

精气神一下就垮了。

“我一个人不好在。”

这是老人生前挂在嘴边上的一句话，“不好在”是当地的俚语，意思是“不舒服”。

人老了，心灵的孤寂，是我们没法想象的。

作家荆方说过一个故事。

他们姐弟三人分别住在北、深、广，为了照顾老家的父母，特意请了一个保姆。

可有一段时间母亲总是抱怨保姆小偷小摸。

不过姐弟三人了解之后，知道保姆并没有做过。

但是为了安抚母亲，他们在家里装上了监控。

于是，母亲在家里的一点一滴全都呈现在了孩子们眼中。

自此儿女也终于知道了母亲无理取闹的原因：

她每天看着并不感兴趣的电视节目，有时候整晚不说一句话。

尤其是天寒地冻的冬天，父母甚至一整天都坐在沙发里，固定的姿势，固定的位置，看着同一个频道，直到沉沉睡去。

每次打电话父母都会问孩子们什么时候回去，但是很多时候，归期只是一个语焉不详的日子。

直到这时，荆方才恍然大悟：

“父母的日子，是被大段大段的空白铺满的。这些空白是荒芜的原野，没有庄稼，不收割希望。”

03

不孝

赵老爷子喊话孙女的视频，在网上传播开以后。

赵家儿孙受到了不少非议，什么“网络孝子”，什么“儿女都去哪了”……

一顶顶不肖子孙的帽子，直接扣了上来。

咱先别站着说话不腰疼。

事实是，老人的儿孙已经很努力去照顾老人了。

从老人的居住环境来看，这就不是什么大富大贵之家。

老人有4个儿子、2个女儿，各自成家立业后，二儿子一家留在村里，而且住的房子和老人住的老屋仅有50步。

平常老人的一日三餐都是二儿子和二儿媳负责。

儿女们也都愿意接老人同住，“想去哪里就送他去哪里，但他都不开心”，待个一两天就闹着回家。

孩子们又想给老人再找个老伴，可赵老爷子说什么也不同意。

老人房前的监控还是孙女小林坚持要装的：“怕他跑、摔了什么的，也想多看看他。”

在小林的短视频账号上，为数不多的作品里面，多有爷爷的身影。

帮爷爷洗脚，和爷爷吃饭，陪爷爷散步，用手机拍摄特效视频逗爷爷开心……

显然，这个大家庭里，没有谁是没良心的。

但各家也有各家的难处，就像二儿子说的：

都知道老爷子有心病，“大家都看着，可是谁也不可能一直在（老人）身边，一步都不离开。”

百善孝为先，论心不论迹，论迹寒门无孝子。

说到底，普通人家，“你养我大，我陪你老”，挺奢侈的。

就拿我自己举例，外公去世后，外婆独居，身体渐渐变差。

虽说大舅一家和外婆住在同一个村子，可年近60的大舅和大舅妈，一个在工地上班，一个操持田地。

小舅前几年做过心脏手术，小舅妈独自经营着一家裁缝店。

我爸妈更是四处打零工，一年360天，只有春节前后那段时间休息。

小辈们就更别提了，天南海北，不是学生，就是打工人，除了放假，老家难得见到一两个人影。

最后，外婆也在某个孤独的日子里，因为一场感冒，引起了并发症，住进ICU后，再也没有醒来。

在知乎上看过一个问题：“怎么看待「久病床前无孝子」这句话？”

一个高赞回答很扎心@维罗妮卡：

那你没去过私立医院，没看过那些VIP病房的久病人。

这些人有专门的护工照顾，有医院配给的营养餐，不需要儿女24小时陪着，不需要儿女一边哄着孩子一边拿着铲子炒菜，不需要儿女挤半个小时公交车送饭，不需要儿女在脏兮兮的公共卫生间洗衣服，不需要儿女端屎端尿一整晚第二天顶着一双红肿的眼睛和黑眼圈上班。

这些人的儿女，因为睡眠充足心情愉悦个个脸上洋溢着笑容，亲切地问爸今天觉得怎么样，妈医院的饭吃得惯吗？不行请个保姆专门做饭。恨不得天天陪着，毕竟卫生不用自己收拾，饭不用自己做，自己只需要坐在真皮沙发上，吹着空调，陪着爹妈聊聊天就可以了。

哪怕一天时刻不离，自己也有时间，不用担心回头要和老板点头哈腰地请假……

谁不想做孝子贤孙？

可生活可曾对我们有过一点点怜悯？

04

天伦

说句老实话，如今像赵老爷子这样的“独居”老人其实挺多的。

人老了，失无可失，孩子们难以常伴左右，该怎么办？

说个身边人的故事。

76岁的舅婆，大半辈子都没走出过山村的老太太。

十多年前因为舅公突然病逝，开始了独居生活。

两个儿子一个女儿，都不在身边，可她该吃吃，该喝喝。

孩子有空，带她去旅游，她也从不推脱。

年纪大了，小儿子帮她在村子里找了个保姆，她也不逞能，该休息就休息。

没事出去遛遛弯，找老太太老大爷唠唠嗑。

小辈还教会她用手机、电脑上网看电视剧。

想孩子们了，就打打视频电话。

虽说前两年，生了场大病，做了回手术，腿脚不利索了，可春节去给她拜年，老人家依旧健谈得很。

人都有老去的那一天，我们盼望人生暮年，子孙绕膝，安享天伦之乐。

如果可以，自然很好。

如果很难，舅婆的晚年生活也许也是一种启示。

希望赵老爷子这样的悲剧不再出现。

祝福每一位老人，以及终将老去的我们。

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第1单元

综合预习类

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